Приглашение

 

Учителя математики МОУ СОШ №38 приглашают коллег посетить внеклассное мероприятие для 5 классов игра по станциям "Веселое путешествие в страну математики и информатики". Мероприятие состоится 27.01.11 в 15 часов. В актовом зале школы бывает прохладно. Одевайтесь потеплее. Ждем!!!

Встреча 23.12.10.

Уважаемые коллеги! Встреча 23.12.10 состоится в ДЕРЖАВИНСКОМ ЛИЦЕЕ в 15 часов. Планировалось в ЦРО (проблема с компьютерами). Алексей Доронин будет рад вас видеть.

"ВСЕЗНАЙКА"

Уважаемые коллеги! В силу стечения обстоятельств, время олимпиады перенесено с 13 часов на 14. Рассчитываем на два часа работы. Наша благодарность администрации и учителям Державинского лицея за понимание!

Встречи в декабре.

Уважаемые коллеги, приглашаем вас на традиционные встречи. В декабре их будет три. Выберете для себя то, что вам интересно.

1. 09.12.10 в 15.00 в Университетском лицее встреча с Басовой Л.А. "Методические рекомендации для решения геометрических задач ЕГЭ"

2. 16.12.10 в 15.00 в Центре развития образования, каб.№6. "Некоторые факторы, влияющие на качество математического образования". Встреча с Соболевой И.В.- членом Ассоциации "Учителя Республики Карелия", Михайловой Е.В. - делегатом съезда учителей математики  2010г.

3. 23.12.10. в 15.00 в Центре развития образования, каб.№6. Рождественские встречи с Алексеем Дорониным. учителем математики Деожавинского лицея, победителем республиканского конкурса Учитель года. "Работаем во Flesh"

 

НАПОМИНАНИЕ!

1. 18.12.10 в 13.00 в Державинском лицее проводится олимпиада для 5-6 классов "Всезнайка". Условия проведения остались прежними. Просьба до 12.12.10 сообщить (по телефону или электронной почте)фамилии детей, участников олимпиады и учтеля, сопровождающего учеников.

2.Закончился первый тур Математической регаты! Спасибо всем участникам!!!

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников

7-й класс

 

1.      Можно ли в выражении  вместо звёздочек поставить плюсы и минусы так, чтобы получилось верное равенство?

 

Ответ: можно.

 

Решение.

Крайние берём с плюсом, остальные можно разбить на 1004 пар соседних, могущих дать плюс-минус один.

 

2.      Поставьте вместо букв цифры (от 0 до 9) так, чтобы получилось верное равенство: ВОВА + ВОДА = КОЗА. (При этом одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, а разные – разным).

 

Ответ: 3930 + 3980 = 7910.

 

Примечание: представленный вариант – единственный.

 

3.      На прямой дороге расположены населённые пункты А и Б, расстояние между которыми равно 2 км. В пункте А живут 2010 школьников, а в Б – 2011 школьников. В какой точке этой дороги следует построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками по дороге в школу, было наименьшим?

 

Ответ: в Б.

 

Решение.

Введём координату на прямой. При этом А соответствует 0, а Б соответствует 2. Если x – координата школы, то легко видеть, что минимум достигается при максимальном x, то есть при x = 2.

 

4.      Два соседних одинаковых цеха недовыполнили общий план на 10%. Каково недовыполнение плана (в процентах) в цехе № 2, если известно, что цех  № 1 перевыполнил его на 10%?

 

Ответ: 30%.

 

Решение.

Сводится к уравнению 2П(1 – 10/100) = П(1 + 10/100) + П(1 – x/100), где x – искомое, а П – план для одного цеха.

 

5.      Разрежьте квадрат на три части, из которых можно сложить треугольник с тремя острыми углами и тремя попарно различными сторонами.

 

Решение (B – середина AC, но не стороны квадрата).

8-й класс

 

1.      Можно ли в выражении  вместо звёздочек поставить плюсы и минусы так, чтобы получилось верное равенство?

 

Ответ: можно.

 

Решение.

Крайние берём с плюсом, остальные можно разбить на 1004 пар соседних, могущих дать плюс-минус один.

 

2.      «Шахматная» фигура суперконь может совершать ходы вида 3×2, 4×3, 5×4 и т. д. (т. е. n прыжков на соседнюю клетку в одном направлении и n 1 в перпендикулярном направлении). Суперконь стоит в угловой клетке доски 2011×2011 (2011 строк и 2011 столбцов). Может ли он ровно за 2011 прыжков попасть в диагонально противоположную угловую клетку?

 

Ответ: не может.

 

Решение.

Если рассмотреть шахматную раскраску доски, то получается, что суперконь каждый ход меняет цвет клетки, на которой стоит. Таким образом, за нечётное число ходов он должен изменить «свой» цвет, однако диагонально противоположные клетки имеют одинаковый цвет.

 

3.      В классе число отсутствующих учеников составляло 1/6 часть числа присутствующих. Когда из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствующих. Сколько учеников в классе?

 

Ответ: 42.

 

Решение.

Стандартное решение получается через систему, однако возможны и другие способы.

 

4.      В квадрате ABCD проведены отрезки CE и CF, где E – середина AB, F – середина AD. Правда ли, что отрезки CE и CF делят диагональ BD на три равные части?

 

Ответ: правда.

 

Решение.

Проводим вторую диагональ. Далее достаточно лишь того факта, что точкой пересечения медианы треугольника делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин этого треугольника.

 

5.      Имеется квадратная таблица 2010×2010 (2010 строк и 2010 столбцов). Коля вписывает в клетки этой таблицы числа –1, 0 и 1. Затем он складывает эти числа отдельно в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей (идущих из верхнего левого угла в нижний правый и из нижнего левого угла в верхний правый). Получив все эти суммы, он утверждает, что среди них нет двух равных. Прав ли Коля?

 

Ответ: нет.

 

Решение.

Коля получил 2×2010 + 2 суммы, а вариантов имеется лишь 2×2010 + 1 (от –2010 до 2010 включительно).

9-й класс

 

6.      Можно ли в выражении  вместо звёздочек поставить плюсы и минусы так, чтобы получилось верное равенство?

 

Ответ: можно.

 

Решение.

Крайние берём с плюсом, остальные можно разбить на 1004 пар соседних, могущих дать плюс-минус один.

 

7.      Напишите в клетках квадрата 4×4 натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы для каждой клетки сумма всех чисел, стоящих в соседних с ней клетках, была чётной. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).

 

Ответ: например, так:

 

1          2    4    3

6    5    7    8

10  9  11  12

13 14 16  15

 

8.      В таблицу 2010×2011 (2010 строк и 2011 столбцов) записывают по 2011 раз каждое из чисел 1, 2, 3, …, 2010. Можно ли добиться того, чтобы во всех строках суммы чисел были равны друг другу?

 

Ответ: нет.

Решение.

Предположив противное, получаем, что сумма всех чисел в таблице должна быть чётна, тогда как она равна 2011×(1 + 2 + … + 2010) = 2011×2011×1005.

 

9.      На основании AC треугольника ABC взята точка D. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD, точками касания не могут делить отрезок BD на три равные части.

 

Решение.

От противного: быстро получается противоречие с неравенством треугольника (используется лишь то, что отрезки двух касательных от точки вне окружности до неё равны друг другу). Предполагаемые «равные» части быстро «перекидываются» на стороны треугольника, «заставляя» одну из них стать равной сумме двух других.

 

10.  Четыре токаря различной квалификации выполнили заказ, работая по очереди. При этом каждый работал столько времени, сколько нужно было бы трём другим, чтобы выполнить этот заказ, работая вместе. Во сколько раз быстрее они бы выполнили этот заказ, работая вместе все четверо?

 

Ответ: 5.

 

Решение: можно сделать, вводя неизвестные для каждой из четырёх производительностей труда, а также другие способы.

10-й класс

 

11.  О квадратном трёхчлене  известно, что p и q – натуральные простые числа, а его корни – целые числа. Найдите p и q.

 

Ответ: 3 и 2.

 

Решение: теорема Виета даёт, что p и q – соседние (то есть отличающиеся на единицу) простые числа.

 

12.  В таблицу 50×50 (50 строк и 50 столбцов) вписали 2011 минусов, остальные ­– плюсы. За один ход разрешается выбрать любое нечётное число строк и любое нечётное число столбцов, а затем поменять все знаки, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, на противоположные. Проделали 2010×2011 таких операций. Могла ли в результате получиться таблица из одних плюсов?

 

Ответ: нет.

 

Решение.

Каждый ход количество минусов меняет свою чётность, а 2010×2011 – число чётное.

 

13.  Существует ли треугольник с высотами 0.25, 0.2, 0.1?

 

Ответ: нет.

 

Решение.

Следует через площадь связать высоты со сторонами, откуда немедленно получается противоречие с неравенством треугольника.

 

14.  На координатной плоскости  изобразите множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству .

 

Решение.

Содержимое второй пары скобок симметрично относительно осей координат (и их начала), поэтому достаточно ограничиться лишь первой координатной четвертью.

 

15.  Решите уравнение  в натуральных числах.

 

Ответ: решений нет.

 

Решение 1.

По mod 3 получаем: , чего быть не может.

 

Решение 2.

Ясно, что , тогда и , поскольку 2010 не делится на 4. Сокращая на 4, получим . Теперь , что даёт , откуда , и два слагаемых слева делятся на 8, но 1508 не делится на 8.

 

11-й класс

 

16.  О квадратном трёхчлене  известно, что p и q – натуральные простые числа, а его корни – целые числа. Найдите p и q.

 

Ответ: 3 и 2.

 

Решение: теорема Виета даёт, что p и q – соседние (то есть отличающиеся на единицу) простые числа.

 

17.  Коля установил наверняка, что 2011 – число простое. Он утверждает, что в таблице 2010×2011 (2010 строк и 2011 столбцов) ему удалось расставить числа 1 и -1 так, что во всех строках суммы оказались равными друг другу, и во всех столбцах суммы оказались равными друг другу, причём он настаивает на том, что использовал оба числа 1 и -1. Прав ли Коля?

 

Ответ: нет.

 

Решение.

Имеем , где  – сумма чисел в любой строке, а  – сумма чисел в любом столбце. Ясно, что . Получаем противоречие с простотой 2011.

 

18.  В семиугольной (см. ниже рисунок) звезде вычислите сумму углов, помеченных точками.

 

Ответ: 540 градусов.

 

Решение.

Угол треугольника равен сумме двух внешних углов, не смежных с ним, минус 180 градусов. Тогда сумма углов, помеченных точками, будет равна удвоенной сумме углов внутреннего семиугольника минус 7 раз по 180, то есть 540 градусов.

 

19.  Представьте функцию  в виде суммы чётной и нечётной функций.

 

Ответ: .

 

Решение.

Это можно проделать с любой функцией , имеющей подходящую область определения. Чётной составляющей будет , а нечётной  , причём это разложение будет единственным. 

 

20.  Решите уравнение  в натуральных числах.

 

Ответ: решений нет.

 

Решение 1.

По mod 3 получаем . Слева 0 или 1, а справа 0 или 2, откуда  и  делятся на 3. Тогда и  делится на 3. Тогда все неизвестные неограниченно делятся на 3 – противоречие.

 

Решение 2.

Имеем , тогда и  и (*) . Ясно, что  и  – числа одной чётности. Если   и , то получаем , откуда , поскольку разность 2011 и 503, равная 1508, делится на 4. Но тогда , откуда 1508 делится на 8 – противоречие. Итак, . Тогда в (*) получаем, что . В силу однородности (*) имеем неограниченную делимость всех неизвестных в (*) на 2 – противоречие.

 

Страницы <|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|>